Question

15．已知x²+y²-xy=1，求u=x²-y²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 换元法，领x=a+b，y=a-b，已知式子可化为a²+3b²=1，u=4ab，由基本不等式可得ab的范围，进而可得u的范围．

解答 解：设x=a+b，y=a-b，
则x²+y²-xy=1可化为（a+b）²+（a-b）²-（a+b）（a-b）=1，
整理可得a²+3b²=1，∴u=x²-y²=（a+b）²-（a-b）²=4ab，
∵1=a²+3b²≥2$\sqrt{3}$|ab|，∴|ab|≤$\frac{1}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{6}$≤ab≤$\frac{\sqrt{3}}{6}$，∴-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤4ab≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴u=x²-y²的最大值和最小值分别为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$和-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查基本不等式求最值，换元是解决问题的关键，属基础题．