Question

7．在△ABC中，a=4，B=30°，C=45°，求△ABC的外接圆半径R和面积S．

Answer 1

分析 由已知及三角形内角和定理可求角A，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=2R$可求外接圆半径R，由正弦定理b=$\frac{asinB}{sinA}$求b的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：由已知可得：A=180°-30°-45°=105°，
故由正弦定理可得：2R=$\frac{4}{sin（60°+45°）}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得：△ABC的外接圆半径R=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$，
又由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{4×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$，
故面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×4×（2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4$\sqrt{3}$-4．

点评 本题主要考察了正弦定理的应用，三角形的面积公式，属于基本知识的考查．