Question

14．如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥AD于O，AP⊥BC，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B的大小为$\frac{π}{4}$？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥平面PAD，可得BC⊥PO，结合PO⊥AD，BC∩AD=D，证明PO⊥平面ABC；
（2）以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，求平面BMC和平面AMC的法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，D为BC的中点，
∴BC⊥AD，
∵AP⊥BC，AD∩AP=A，
∴BC⊥平面PAD，
∵PO?平面PAD，
∴BC⊥PO，
∵PO⊥AD，BC∩AD=D，
∴PO⊥平面ABC；
（2）以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，则O（0，0，0），A（0，-3，0），B（4，2，0），C（-4，2，0），P（0，0，4）
设$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PA}$，λ≠1，则$\overrightarrow{PM}$=λ（0，-3，-4），$\overrightarrow{BM}$=（-4，-2，4）+λ（0，-3，-4）=（-4，-2-3λ，4-4λ）
∵$\overrightarrow{BC}$=（-8，0，0）
∴设平面BMC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c）
则$\left\{\begin{array}{l}{-4a-（2+3λ）b+（4-4λ）c=0}\\{-8a=0}\end{array}\right.$
令b=1，则$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\frac{2+3λ}{4-4λ}$）
平面AMC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AC}$=（-4，5，0），$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$=（0，3-3λ，4-4λ）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4x+5y=0}\\{（3-3λ）y+（4-4λ）z=0}\end{array}\right.$
令x=5，则$\overrightarrow{n}$=（5，4，-3）
由二面角A-MC-B的大小为$\frac{π}{4}$，得$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4-\frac{6+9λ}{4-4λ}}{\sqrt{1+（\frac{2+3λ}{4-4λ}）^{2}•\sqrt{50}}}$
∴456λ²-240λ+400=0，
方程无解，∴不存在点M使得二面角A-MC-B的大小为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查的知识点是线面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，其中建立空间坐标系，求出平面的法向量是解答本题的关键．