Question

6．已知正三棱锥各棱长为a，求：
（1）侧棱和底面所成的角的余弦值；
（2）相邻两个面所成的角的余弦值；
（3）两条不相交的棱所成的角；
（4）两条不相交的棱之间的距离．

Answer 1

分析 （1）作VH⊥平面ABC于H，连结AH，不妨求棱VA与平面ABC所成的角．在Rt△VAH中直接计算即可；
（2）延长AH交BC于D，连结VD，只求三棱锥V-ABC的侧面VBC与底面所成的角即可，在Rt△VDH中，直接计算侧面VBC与底面ABC所成的角∠VDH；
（3）只需求异面直线VA与BC所成的角．通过BC⊥平面VAD，直接得到结论；
（4）取VA中点E，连结DE，易得DE是异面直线VA与BC的公垂线段，在Rt△ADE中，利用勾股定理计算即可．

解答 解：（1）不妨求棱VA与平面ABC所成的角．
作VH⊥平面ABC于H，连结AH，
则∠VAH为VA与平面ABC所成的角，
∵H是正三角形ABC的中心，
∴AH=$\frac{2}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
∴在Rt△VAH中，cos∠VAH=$\frac{AH}{VA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）∵正三棱锥一个侧面与底面所成的角都相等，
∴只求三棱锥V-ABC的侧面VBC与底面所成的角，
延长AH交BC于D，连结VD，
∵VH⊥平面ABC，AD⊥BC，由三垂线定理，得VD⊥BC，
∴∠VDH为侧面VBC与底面ABC所成的角．
在Rt△VDH中，HD=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{6}a$，VD=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴cos∠VDH=$\frac{HD}{VD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{1}{3}$；
（3）∵正四面体任意两条相对的棱所成角相等，
∴只需求异面直线VA与BC所成的角．
∵AD⊥BC，VD⊥BC，
∴BC⊥平面VAD，
∴BC⊥VA，故VA与BC所成的角为90°；
（4）取VA中点E，连结DE，
∵BC⊥平面VAD，DE平面VAD，
∴BC⊥DE，
∵E是VA中点，AD=VD=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴DE⊥VA，
∴DE是异面直线VA与BC的公垂线段．
在Rt△ADE中，AE=$\frac{1}{2}a$，AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．

点评 本题考查线线角、线面角、二面角，考查线线之间的距离，注意解题方法的积累，属于中档题．