Question

18．如图，已知抛物线x²=8y被直线y=4分成两个区域W₁，W₂（包括边界），圆C：x²+（y-m）²=r²（m＞0）．
（1）若m=3，则圆心C到抛物线上任意一点距离的最小值是3；
（2）若圆C位于W₂内（包括边界）且与三侧边界均有公共点，则圆C的半径是4+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）通过题意，即求圆C与抛物线的交点到圆心的最小距离，利用不等式求$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$的最小值即可；
（2）圆C位于W₂内（包括边界）且与三侧边界均有公共点，即圆C与边界均相切．联立圆C与抛物线方程，令△=0，同时m-4=r，计算即可．

解答 解：（1）若m=3，记圆C与抛物线的交点到圆心的距离为d（=r），
则d=$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$
=$\sqrt{8y+（y-3）^{2}}$
=$\sqrt{（y+1）^{2}+8}$，
∵8y=x²≥0，即y≥0，
∴$\sqrt{（y+1）^{2}+8}$≥$\sqrt{（0+1）^{2}+8}$=3，
即d_min=3；
（2）联立圆C与抛物线方程，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=8y}\\{{x}^{2}+（y-m）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，
化简得y²+（8-2m）y+m²-r²=0，
∴△=（8-2m）²-4（m²-r²）
=4（r²-8m+16），
∵圆C位于W₂内（包括边界）且与三侧边界均有公共点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{m-4=r}\end{array}\right.$，消去m得r²-8r-16=0，
解得r=$4+4\sqrt{2}$；
故答案为：3，$4+4\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆与抛物线的位置关系，考查数形结合，注意解题方法的积累，属于中档题．