Question

14．已知ABC-A₁B₁C₁是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B₁C₁的中点，则下列命题正确的是（　　）

• A． 在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45°
• B． 在棱AA₁上存在点N，使MN与平面BCC₁B₁所成的角为45°
• C． 在棱AC上存在点N，使MN与AB₁平行
• D． 在棱BC上存在点N，使MN与AB₁垂直

Answer 1

分析 根据题意画出图形，如图所示，连接A₁M，AM，根据直三棱柱得到侧棱与底面垂直，在直角三角形AA₁M中，利用锐角三角函数定义求出tan∠AMA₁的值，判断出∠AMA₁与45°大小判断即可．

解答 解：根据题意画出图形，如图所示，连接A₁M，AM，
由题意得到AA₁⊥面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁M，
在Rt△AA₁M中，设AA₁=1，则有A₁B₁=A₁C₁=B₁C₁=1，A₁M=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴tan∠AMA₁=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$＞1，
∴∠AMA₁＞45°，
则在棱AA₁上存在点N，使MN与平面BCC₁B₁所成的角为45°，
故选：B．

点评 此题考查了棱柱的结构特征，直线与面垂直的性质，锐角三角函数定义，以及正弦函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．