Question

2．已知在△ABC中，BC=2，AC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{3}+1$．
（1）求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$；
（2）设△ABC的外心为O，若$\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AO}$+n$\overrightarrow{AB}$，求m，n的值．

Answer 1

分析 （1）根据余弦定理先表示出cos∠BAC，带入数量积$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=AB•AC•cos∠BAC$即可求得答案；
（2）对等式$\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AO}$+n$\overrightarrow{AB}$两边分别同乘以$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$，便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}+n{\overrightarrow{AB}}^{2}}\\{{\overrightarrow{AC}}^{2}=m\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}+n\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}\end{array}\right.$，从而求得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$带入即可得到关于m，n的二元一次方程组，解方程组即得m，n．

解答 解：（1）如图，
由余弦定理，cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=AB•AC•cos∠BAC$=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2}=\frac{4+2\sqrt{3}+2-4}{2}=\sqrt{3}+1$；
（2）由$\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{AO}+n\overrightarrow{AB}$得：$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}+n{\overrightarrow{AB}}^{2}}\\{{\overrightarrow{AC}}^{2}=m\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}+n\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}+1=m\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}+（\sqrt{3}+1）^{2}n}&{①}\\{2=m\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}+（\sqrt{3}+1）n}&{②}\end{array}\right.$；
取AB中点D，连接OD，则OD⊥AB，∴cos∠BAO=$\frac{\frac{1}{2}AB}{AO}$；
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}A{B}^{2}=\frac{（\sqrt{3}+1）^{2}}{2}$，同理$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=1$，分别代入①②得：
$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}+1=\frac{（\sqrt{3}+1）^{2}}{2}m+（\sqrt{3}+1）^{2}n}\\{2=m+（\sqrt{3}+1）n}\end{array}\right.$，
解得：$m=-\sqrt{3}-1，n=\sqrt{3}$．

点评 考查向量数量积的计算公式，余弦定理，以及三角形外心的概念，余弦函数的定义，解二元一次方程组．