Question

14．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R），且函数f（x）的最大值为2，最小正周期为$\frac{π}{2}$，并且函数f（x）的图象过点（$\frac{π}{24}$，0）．
（1）求函数f（x）解析式；
（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（$\frac{C}{4}$）=2，c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a+2b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数最大值为2，确定出A的值，由最小正周期求出ω的值，将已知点坐标代入求出φ的值，即可确定出f（x）解析式；
（2）由f（$\frac{C}{4}$）=2，求出C的度数，利用正弦定理求出2R的值，所求式子利用正弦定理化简，整理后利用余弦函数的值域求出范围即可．

解答 解：（1）根据题意得：A=2，ω=4，即f（x）=2sin（4x+φ），
把（$\frac{π}{24}$，0）代入得：2sin（$\frac{π}{6}$+φ）=0，即sin（$\frac{π}{6}$+φ）=0，
∴$\frac{π}{6}$+φ=0，即φ=-$\frac{π}{6}$，
则f（x）=2sin（4x-$\frac{π}{6}$）；
（2）由f（$\frac{C}{4}$）=2sin（C-$\frac{π}{6}$）=2，即sin（C-$\frac{π}{6}$）=1，
∴C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即C=$\frac{2π}{3}$，
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$$\frac{c}{sinC}$=2R，即$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2R=1，
∴a+2b=2RsinA+4RsinB=sinA+2sinB=sinA+2sin（$\frac{π}{3}$-A）=sinA+2sin$\frac{π}{3}$cosA-2cos$\frac{π}{3}$sinA=sinA+$\sqrt{3}$cosA-sinA=$\sqrt{3}$cosA，
∵$\frac{1}{2}$＜cosA＜1，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\sqrt{3}$cosA＜$\sqrt{3}$，
∴a+2b的范围为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$）．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及余弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．