Question

19．已知F₁、F₂是双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右两个焦点，P是双曲线上的动点，则△PF₁F₂的内切圆半径的取值范围是0＜r＜$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF₁|-|PF₂|=2，转化为|HF₁|-|HF₂|=2，从而求得点H的横坐标，确定0°＜∠IF₁H＜30°，即可求出△PF₁F₂的内切圆半径的取值范围．

解答 解：如图所示：F₁（-2，0）、F₂（2，0），
设内切圆与x轴的切点是点H，
PF₁、PF₂与内切圆的切点分别为M、N，
∵由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2，
由圆的切线长定理知，|PM|=|PN|，故|MF₁|-|NF₂ |=2，
即|HF₁|-|HF₂|=2，
设内切圆的圆心I横坐标为x，内切圆半径r，则点H的横坐标为x，
故 （x+c）-（c-x）=2，∴x=1，
∵双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的渐近线的方程为y=±$\sqrt{3}$x，
∴0°＜∠PF₁H＜60°，
∴0°＜∠IF₁H＜30°，
∴0＜$\frac{r}{3}$＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴0＜r＜$\sqrt{3}$．
故答案为：0＜r＜$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的定义、切线长定理，体现了转化的数学思想以及数形结合的数学思想，正确运用双曲线的定义是关键．