Question

10．已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=x³-x+6，若对任意的x∈（0，+∞），2f （x）≤g′（x）+2恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [-2，-$\frac{1}{3}$]
• B． [-2，+∞）
• C． （-∞，-$\frac{1}{3}$]
• D． （-∞，-2]

Answer 1

分析 根据题意先分离参数，将问题转化为函数的最值问题来解，最后利用导数研究函数的单调性，求其最值即可．

解答 解：由题意得2xlnx-2ax≤3x²-1+2在x∈（0，+∞）上恒成立，即2xlnx-2ax≤3x²+1在（0，+∞）上恒成立．
即$a≥lnx-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2x}$在（0，+∞）恒成立．
设h（x）=$lnx-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2x}$，则$h′（x）=\frac{1}{x}-\frac{3}{2}+\frac{1}{2{x}^{2}}=-\frac{（x-1）（3x+1）}{2{x}^{2}}$．
令h′（x）=0得x=1或x=-$\frac{1}{3}$（舍）．
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，
所以h（x）_max=h（1）=-2．
所以a的取值范围是[-2，+∞）．
故选：B．

点评 关于不等式恒成立时求参数取值范围的问题，一般是分离参数法，然后将问题转化为函数的最值问题求解．