Question

15．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D，使BC=CD，过点C作圆O的切线交AD于E．
（Ⅰ）求证：CE⊥AD；
（Ⅱ）若AB=2，ED=$\frac{1}{2}$，求证：△ABD是等边三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，即可得出结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到△CED∽△ACB，利用相似三角形的性质即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．
又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．
∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．
∴CE⊥AD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴△CED∽△ACB．
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，又CD=BC，
∴BC=$\sqrt{AB•DE}$=1，
∴BD=2BC=2，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形．

点评 本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等基础知识，需要较强的推理能力．