Question

13．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x，a≠0．
（1）若函数h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）若函数h（x）=f（x）-g（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数进行理解，即h′（x）＜0在（0，+∞）上有解．可得ax²+2x-1＞0在正数范围内至少有一个解，结合根的判别式列式，不难得到a的取值范围；
（2）求出函数的导数，由题意可得h′（x）≤0在[1，4]上恒成立，再由参数分离，运用二次函数的最值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x（x＞0），
对函数求导数，得h′（x）=-$\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$，（x＞0），
依题意，得h′（x）＜0在（0，+∞）上有解．即ax²+2x-1＞0在x＞0时有解．
①显然a≥0时，不等式有解，
②a＜0时，需满足△=4+4a＞0，解得a＞-1，
综合①②得a＞-1，
即有a的取值范围为（-1，+∞）；
（2）由于h′（x）=-$\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$，（x＞0），
由题意可得h′（x）≤0在[1，4]上恒成立．
即有ax²+2x-1≥0在[1，4]上恒成立．
即为a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$在[1，4]上恒成立．
由y=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1，
由于x∈[1，4]，则$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{4}$，1]，
则有y∈[-1，-$\frac{7}{16}$]，
则a≥-$\frac{7}{16}$．
即有a的取值范围是[-$\frac{7}{16}$，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，注意函数的单调区间和在某区间上单调的区别，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，属于中档题和易错题．