Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=$\sqrt{6}$，CD=2AB=2$\sqrt{2}$，∠PAD=120°，E和F分别是侧棱CD和PC的中点．
（1）求证：平面BEF⊥平面PCD；
（2）求平面PBC与平面PAD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明平面BEF⊥平面PCD，可证CD⊥平面BEF，由已知可得CD⊥BE，然后证明CD⊥EF，又BE∩EF=E，可得CD⊥面BEF，则平面BEF⊥平面PCD；
（2）延长DA，CB相交于H，连接PH，根据三角形的边长关系，证明PD⊥PH，PC⊥PH，即∠CPD是平面PBC与平面PAD所成的二面角的平面角，即可得到结论．

解答 （1）证明：如图，
∵AB⊥PA，AB∥CD，∴CD⊥PA，
∵BC=BD，E为CD中点，∴CD⊥BE，
∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$=ED，
∴四边形ABED为平行四边形，
则BE∥AD，
∴CD⊥AD，又PA∩AD=A，
∴CD⊥面PAD，则CD⊥PD，
∵E，F分别为CD，PC中点，
∴EF∥PD，
则CD⊥EF，又BE∩EF=E，
∴CD⊥面BEF，
∴平面BEF⊥平面PCD；
（2）延长DA，CB相交于H，连接PH，
由（1）知四边形ABED为平行四边形，
∵PB=BC=BD=$\sqrt{6}$，CD=2AB=2$\sqrt{2}$，
∴BE=AD=2，AH=AD=2，BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}=\sqrt{6}$，BH=BC=$\sqrt{6}$，
∵∠PAD=120°，∴PA=PH=AH=2，PD=2$\sqrt{3}$，
即∠HPD=90°，即PD⊥PH，
∵PD=2$\sqrt{3}$，CD=2$\sqrt{2}$，
∴在直角三角形PDC中，PC=$\sqrt{P{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵PH=2，HC=2$\sqrt{6}$，
∴满足PH²+PC²=HC²，
即三角形PHC为直角三角形，则PC⊥PH，
则∠CPD是平面PBC与平面PAD所成的二面角的平面角，
则cos∠CPD=$\frac{PD}{PC}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即平面PBC与平面PAD所成的二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判定，以及二面角的求解，利用定义法证明∠CPD是平面PBC与平面PAD所成的二面角的平面角是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．