Question

7．推导直线Ax+By+C=0（A²+B²≠0）与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相切．

Answer 1

分析 对B分类讨论：利用△=0即可得出．

解答 解：当B=0，A≠0时，直线Ax+By+C=0化为x=$-\frac{C}{A}$，当且仅当-$\frac{C}{A}$=±a，即$\frac{C}{A}$=±a时，直线与椭圆相切；
当B≠0时，联立$\left\{\begin{array}{l}{Ax+By+C=0}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为（a²A²+b²B²）x²+2a²ACx+a²C²-a²b²B²=0，
∵直线与椭圆相切可得：△=4a⁴A²C²-4（a²A²+b²B²）（a²C²-a²b²B²）=0，
化为C²=a²A²+b²B²，
当B=0时，上式也成立．
反之也成立．
综上可得：直线Ax+By+C=0（A²+B²≠0）与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相切的充要条件为C²=a²A²+b²B²．

点评 本题考查了直线与椭圆相切的充要条件、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．