Question

13．某几何体的三视图如图所示，正视图，侧视图，俯视图都是边长为1的正方形，则此几何体的外接球和内接球的半径分别为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{12}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{12}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$

Answer 1

分析 根据几何体的三视图，得出该几何体是正方体中的内接正四面体，
求出正四面体的边长，则它的外接球直径是正方体的对角线长；
利用正四面体的体积可以求出它的内切球的半径．

解答 解：根据几何体的三视图，得出该几何体是正方体中的内接正四面体，
且该正四面体的边长为$\sqrt{2}$，如图所示；
∴该几何体的外接球的直径2R是该正方体的对角线长$\sqrt{3}$，
∴R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
设该正四面体内切球的半径为r，则
该正四面体的体积为
1³-4×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1²×1=4×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×${（\sqrt{2}）}^{2}$×sin60°×r，
解得r=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
∴该正四面体的外接球与内切球的半径分别为$\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故选：A．

点评 本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．