Question

5．已知等差数列{a_n}的各项互不相等，前两项的和为10，设向量$\overrightarrow{m}$=（a₁，a₃），$\overrightarrow{n}$=（a₃，a₇），且$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=（$\sqrt{2}$）${\;}^{{a}_{n}-2}$，n∈N^*，求数列{$\frac{1}{{{b}_{n}}^{2}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线定理、等差数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=（$\sqrt{2}$）${\;}^{{a}_{n}-2}$=2ⁿ，可得$\frac{1}{{b}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{{4}^{n}}$．利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，
∵前两项的和为10，向量$\overrightarrow{m}$=（a₁，a₃），$\overrightarrow{n}$=（a₃，a₇），且$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$；
∴a₁+a₂=10，${a}_{1}{a}_{7}-{a}_{3}^{2}$=0，
∴2a₁+d=10，${a}_{1}（{a}_{1}+6d）-（{a}_{1}+2d）^{2}$=0，
解得a₁=4，d=2．
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2．
（2）b_n=（$\sqrt{2}$）${\;}^{{a}_{n}-2}$=2ⁿ，
∴$\frac{1}{{b}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{{4}^{n}}$．
∴数列{$\frac{1}{{{b}_{n}}^{2}}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$
=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$
=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．