Question

12．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点．
（1）求二面角B₁-AC-E的大小；
（2）求点B到平面AEC的距离．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点O，连接EO，B₁O，B₁E，则EO⊥AC，B₁O⊥AC，∠B₁OE是二面角B₁-AC-E的平面角，即可求二面角B₁-AC-E的大小；
（2）由等体积可求点B到平面AEC的距离．

解答 解：（1）取AC的中点O，连接EO，B₁O，B₁E，则EO⊥AC，B₁O⊥AC，
∴∠B₁OE是二面角B₁-AC-E的平面角，
∵EO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B₁O=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，B₁E=$\frac{3}{2}$，
∴cos∠B₁OE=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{6}{4}-\frac{9}{4}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}}$=0，
∴∠B₁OE=90°，即二面角B₁-AC-E的平面角是90°；
（2）设点B到平面AEC的距离为h，则
∵S_△AEC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$，
∴由等体积可得，$\frac{1}{3}$•S_△ABC•ED=$\frac{1}{3}$S_△AEC•h，即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{4}h$，
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查二面角平面角的计算，考查点面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定二面角的平面角，正确运用等体积法是关键．