Question

1．如图，在四面体P-ABC中，底面ABC是边长为1的正三角形，PB=PC=$\sqrt{2}$，AB⊥BP．
（Ⅰ）求证：PA⊥BC
（Ⅱ）求点P到底面ABC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中点M，连结AM，PM，依题意可知AM⊥BC，PM⊥BC，从而BC⊥平面PAM，由此能证明PA⊥BC；
（Ⅱ）过P作PH⊥AM，连接BH，证明PH⊥平面ABC，求出BH，即可求点P到底面ABC的距离．

解答 （Ⅰ）证明：取BC中点M，连结AM，PM，
依题意底面ABC是边长为1的正三角形，PB=PC=$\sqrt{2}$，
所以AM⊥BC，PM⊥BC，
又AM∩PM=M，
所以BC⊥平面PAM，
又PA?平面PAM，
所以PA⊥BC；
（Ⅱ）解：因为BC⊥平面PAM，BC?平面ABC
所以平面ABC⊥平面PAM，
过P作PH⊥AM，连接BH，
所以PH⊥平面ABC，
所以PH⊥AB，
因为AB⊥PB，PH∩PB=P，
所以AB⊥平面PBH，
所以AB⊥BH．
在Rt△ABH中，∠BAH=30°，所以BH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△PBH中，PB=$\sqrt{2}$，所以PH=$\sqrt{2-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
所以点P到底面ABC的距离为$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，正确作出点P到底面ABC的距离是解题的关键．