Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ADC=60°，PC⊥底面AC，PC=1，E为PA的中点．
（1）求证：平面DBE⊥平面ABCD；
（2）求点E到平面BPC的距离．

Answer 1

分析 （1）欲证平面EDB⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面EDB内一直线与平面ABCD垂直，连接AC与BD相交于O，连接EO，而根据题意可得EO⊥平面ABCD；
（2）在底面作OH⊥BC，垂足为H，根据OE∥平面PBC可知点E到平面PBC的距离就是点O到平面PBC的距离OH，求出OH即可求出点E到平面PBC的距离．

解答 （1）证明：连接AC与BD相交于O，连接EO，则EO∥PC，因为PC⊥平面ABCD，
所以EO⊥平面ABCD，
又EO?平面EDB，
所以平面EDB⊥平面ABCD；
（2）解：在底面作OH⊥BC，垂足为H，
因为平面PCB⊥平面ABCD，
所以OH⊥平面PCB，
又因为OE∥PC，
所以OE∥平面PBC，
所以点E到平面PBC的距离就是点O到平面PBC的距离OH，
因为底面ABCD是边长为1的菱形，∠ADC=60°，解得OH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及点、线、面间的距离计算等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．