Question

19．设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω，φ是常数，ω＞0，0＜φ＜π），若f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上具有单调性，且f（$\frac{π}{6}$）=-f（$\frac{π}{3}$）=-f（$\frac{π}{2}$），则f（$\frac{π}{ω}$）的值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由-f（$\frac{π}{3}$）=-f（$\frac{π}{2}$），可得函数的图象关于直线x=$\frac{5π}{12}$对称．由f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上具有单调性，可得x=$\frac{π}{6}$到与它最近的对称轴的距离也等于$\frac{π}{12}$，再求得此对称轴方程可得函数的周期，从而求出ω=3．再根据f（$\frac{π}{6}$）=-f（$\frac{π}{3}$），求得φ=$\frac{π}{4}$，可得f（x）的解析式，从而求得f（$\frac{π}{ω}$）的值．

解答 解：对于函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω，φ是常数，ω＞0，0＜φ＜π），
由-f（$\frac{π}{3}$）=-f（$\frac{π}{2}$），可得函数的图象关于直线x=$\frac{\frac{π}{3}+\frac{π}{2}}{2}$=$\frac{5π}{12}$对称．
∵f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上具有单调性，
x=$\frac{π}{3}$到对称轴x=$\frac{5π}{12}$的距离为 $\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{12}$，故x=$\frac{π}{6}$到与它最近的对称轴的距离也等于$\frac{π}{12}$，
∴与它最近的对称轴的方程为x=$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{12}$，故x=$\frac{5π}{12}$和x=$\frac{π}{12}$ 为同一周期里面相邻的两条对称轴，
故函数的周期为2×（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{12}$）=$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=3．
再根据f（$\frac{π}{6}$）=-f（$\frac{π}{3}$），可得sin（$\frac{π}{2}$+φ）=-sin（π+φ），即 cosφ=sinφ，∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$），f（$\frac{π}{ω}$）=f（$\frac{π}{3}$）=sin（π+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性，三角函数的周期性及其求法，确定x=$\frac{5π}{12}$和x=$\frac{π}{12}$ 为同一周期里面相邻的对称轴是关键，也是难点，属于中档题．