Question

4．过椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}$=1上一点P作圆（x-3）²+y²=1的两条切线，切点分别为A、B，则∠APB的最大值为（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 画出图形，利用圆与椭圆的对称性，找出P的位置求解即可．

解答 解：如图：因为椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}$=1与圆（x-3）²+y²=1的对称轴是x轴，并且圆的圆心坐标（3，0）为椭圆的右焦点，
所以过椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}$=1上一点P作圆（x-3）²+y²=1的两条切线，切点分别为A、B，
则∠APB的最大值就是椭圆上的点到圆的圆心的距离最小值时的点，为右端点P，
圆的半径为1，AC=1，PC=2，AC⊥AP，∴∠APB=2∠APC=60°．
故选：C．

点评 本题考查椭圆与圆的综合应用，直线与圆的位置关系，考查数形结合以及椭圆的简单性质的应用．