Question

14．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=2，PB=1，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．
（Ⅰ）求证：AB•PC=PA•AC；
（Ⅱ）求AD•AE的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件推导出△PAB∽△PCA，由此能够证明AB•PC=PA•AC．
（Ⅱ）由切割线定理求出PC=4，BC=3，由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE的值．

解答 （Ⅰ）证明：∵PA为圆O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，
又∠P为公共角
∴△PAB∽△PCA，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$，
∴AB•PC=PA•AC．…（4分）
（Ⅱ）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，
∴PA²=PB•PC，
∴PC=4，BC=3，
又∵∠CAB=90°，∴AC²+AB²=BC²=9，
又由（Ⅰ）知$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=$\frac{6}{\sqrt{5}}$，AB=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
连接EC，则∠CAE=∠EAB，∠AEC=∠ABD
∴△ACE∽△ADB，∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
∴AD•AE=AB•AC=$\frac{18}{5}$．（10分）

点评 本题考查三角形相似的证明和应用，考查线段乘积的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．