Question

3．若函数f （x）=e^x+4^x-kx在区间（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数，则实数k的最大值是（　　）

• A． 2+e
• B． 2+$\sqrt{e}$
• C． 4+e
• D． 4ln2+$\sqrt{e}$

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0在区间（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，即有k≤e^x+4^xln4在区间（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立．令g（x）=e^x+4^xln4，运用单调性，即可得到k的范围，进而得到k的最大值．

解答 解：函数f（x）=e^x+4^x-kx的导数为f′（x）=e^x+4^xln4-k，
由题意可得f′（x）≥0在区间（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
即有k≤e^x+4^xln4在区间（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立．
令g（x）=e^x+4^xln4，则g（x）为（$\frac{1}{2}$，+∞）的增函数，
即有g（x）＞$\sqrt{e}$+2ln4=4ln2+$\sqrt{e}$．
则k≤4ln2+$\sqrt{e}$．
故k的最大值为4ln2+$\sqrt{e}$．
故选D．

点评 本题考查导数的运用：判断单调性和求最值，考查不等式的恒成立问题，注意运用参数分离和指数函数的单调性，属于中档题．