Question

15．对于实数a，b，定义运算“△”；a△b=（a-b）²，已知实数x₁，x₂满足y=$\sqrt{（{x}_{1}△{x}_{2}）+（{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}）△\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}}$，则y的最小值为$\sqrt{2\sqrt{2}+2}-1$．

Answer 1

分析 化简y=$\sqrt{（{x}_{1}△{x}_{2}）+（{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}）△\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（（{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}）-\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}）^{2}}$，其表示了点A（x₁，${x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}$），B（x₂，$\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}$）的距离；作函数图象求解即可．

解答 解：由题意，
y=$\sqrt{（{x}_{1}△{x}_{2}）+（{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}）△\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（（{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}）-\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}）^{2}}$，
其表示了点A（x₁，${x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}$），B（x₂，$\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}$）的距离；
作函数y=x+$\frac{1}{x}$与函数y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$的图象如下，

设切点为（x，x+$\frac{1}{x}$），
故（$\frac{x+\frac{1}{x}}{x}$）•（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）=-1；
故x=$\root{4}{\frac{1}{2}}$，故y=$\sqrt{2\sqrt{2}+2}-1$；
故答案为：$\sqrt{2\sqrt{2}+2}-1$．

点评 本题考查了函数的几何意义的应用及最值的求法，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．