Question

15．某公司采用招考的方式引进人才，规定考生必须在B、C、D三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用．已知考生在每个测试点的测试结果只有合格与不合格两种，且在每个测试点的测试结果互不影响．若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点B、C、D测试合格的概率分别为$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$，小王在上述三个测试点测试合格的概率都是$\frac{2}{3}$．
（Ⅰ）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由；
（Ⅱ）假设小李选择测试点B、C进行测试，小王选择测试点B、D进行测试，记ξ为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设考生小李在B，C，D各测试点测试合格记为事件B、C、D，且各事件相互独立，已知$P（B）=\frac{2}{3}，P（C）=\frac{1}{3}，P（D）=\frac{1}{2}$．求出小李在（B、C），（B、D），（C、D）测试点测试参加面试的概率，由概率的大小得答案；
（Ⅱ）记小李在测试点B、C合格为事件B、C，小王在测试点B、D合格为事件B₁、D₁，由题意得到$P（B）=P（{B}_{1}）=P（{D}_{1}）=\frac{2}{3}，P（C）=\frac{1}{3}$，求出ξ的所有取值，然后利用相互独立事件和定理重复试验求得概率，列出分布列，然后由期望公式求期望．

解答 解：（Ⅰ）设考生小李在B，C，D各测试点测试合格记为事件B、C、D，且各事件相互独立，
由题意，$P（B）=\frac{2}{3}，P（C）=\frac{1}{3}，P（D）=\frac{1}{2}$．
若选择在B、C测试点测试，则参加面试的概率${P}_{1}=P（BC）=P（B）P（C）=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，
若选择在B、D测试点测试，则参加面试的概率${P}_{2}=P（BD）=P（B）P（D）=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，
若选择在C、D测试点测试，则参加面试的概率${P}_{3}=P（CD）=P（C）P（D）=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$．
∵P₂＞P₁＞P₃，∴小李在B、D测试点测试，参加面试的可能性大．
（Ⅱ）记小李在测试点B、C合格为事件B、C，小王在测试点B、D合格为事件B₁、D₁，
则$P（B）=P（{B}_{1}）=P（{D}_{1}）=\frac{2}{3}，P（C）=\frac{1}{3}$，且ξ的所有取值为0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=$P（\overline{B}\overline{C}\overline{{B}_{1}}\overline{{D}_{1}}）=\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{2}=\frac{2}{81}$，
P（ξ=1）=$P（B\overline{C}\overline{{B}_{1}}\overline{{D}_{1}}+\overline{B}C\overline{{B}_{1}}\overline{{D}_{1}}+\overline{B}\overline{C}{B}_{1}\overline{{D}_{1}}+\overline{B}\overline{C}\overline{{B}_{1}}{D}_{1}）$
=${C}_{3}^{1}•\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{2}{3}+\frac{1}{3}•（\frac{1}{3}）^{3}=\frac{12}{81}+\frac{1}{81}=\frac{13}{81}$，
P（ξ=2）=$P（B\overline{C}{B}_{1}\overline{{D}_{1}}+\overline{B}C{B}_{1}\overline{{D}_{1}}+B\overline{C}\overline{{B}_{1}}{D}_{1}+\overline{B}C\overline{{B}_{1}}{D}_{1}+BC\overline{{B}_{1}}\overline{{D}_{1}}+\overline{B}\overline{C}{B}_{1}{D}_{1}）$
=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}+{C}_{3}^{1}•\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{1}{3}=\frac{24}{81}+\frac{6}{81}=\frac{30}{81}=\frac{10}{27}$，
P（ξ=3）=$P（BC{B}_{1}\overline{{D}_{1}}+BC\overline{{B}_{1}}{D}_{1}+\overline{B}C{B}_{1}{D}_{1}+B\overline{C}{B}_{1}{D}_{1}）$
=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}•\frac{2}{3}+{C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}\frac{1}{3}•\frac{1}{3}=\frac{16}{81}+\frac{12}{81}=\frac{28}{81}$，
P（ξ=4）=$P（BC{B}_{1}{D}_{1}）=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}=\frac{8}{81}$．
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{2}{81}$	$\frac{13}{81}$	$\frac{10}{27}$	$\frac{28}{81}$	$\frac{8}{81}$

∴数学期望Eξ=$0×\frac{2}{81}+1×\frac{13}{81}+2×\frac{10}{27}+3×\frac{28}{81}+4×\frac{8}{81}=\frac{7}{3}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的期望的应用，离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值，考查了相互独立事件和独立重复试验，是中档题．