Question

14．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，直线y=x与椭圆交于A，B两点，C为椭圆的右顶点，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=\frac{3}{2}$
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上存在两点E，F使$\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=λ\overrightarrow{OA}$，λ∈（0，2），求△OEF面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设A（t，t）且t＞0，通过$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=\frac{3}{2}$，以及椭圆的离心率，A在椭圆上，列出方程求出椭圆的几何量，然后求解椭圆方程．
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），EF中点为M（x₀，y₀），利用$\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=λ\overrightarrow{OA}$，得到方程组，利用E，F在椭圆上，代入椭圆方程，利用平方差法求出EF的斜率，得到直线EF的方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出|EF|，求出三角形的高，表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最值．

解答 解：（1）根据题意，不妨设A（t，t）且t＞0，$\overrightarrow{OA}=（t，t）$，$\overrightarrow{OC}=（0，a）$，
∴$a•t=\frac{3}{2}$…①（1分），$\frac{t^2}{a^2}+\frac{t^2}{b^2}=1$…②（2分），
$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…③，a²-b²=c²…④，
联立①②③④解得：a²=3，b²=1
∴椭圆的方程为：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$…（6分）
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），EF中点为M（x₀，y₀），
∵$\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=λ\overrightarrow{OA}$，∴$\left\{\begin{array}{l}2{x_0}={x_1}+{x_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}λ\\ 2{y_0}={y_1}+y{\;}_2=\frac{{\sqrt{3}}}{2}λ\end{array}\right.$…（7分）
∵E，F在椭圆上，则 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{3}+y_1^2=1\\ \frac{x_2^2}{3}+y_2^2=1\end{array}\right.$，
相减可得$\frac{x_1^2-x_2^2}{3}+y_1^2-y_2^2=0$，${k_{EF}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{1}{3}•\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=-\frac{1}{3}$，
∴直线EF的方程为：$y-\frac{{\sqrt{3}}}{4}λ=-\frac{1}{3}（{x-\frac{{\sqrt{3}}}{4}λ}）$，
即$x=-3y+\sqrt{3}λ$，代入$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
整理得：$4{y^2}-2\sqrt{3}λy+{λ^2}-1=0$，
∴${y_1}+{y_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}λ$，${y_1}．{y_2}=\frac{{{λ^2}-1}}{4}$…（9分），
$|{EF}|=\sqrt{{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}+{{（{{y_1}-{y_2}}）}^2}}$=$\sqrt{10}|{{y_1}-{y_2}}|$=$\sqrt{10}\frac{{\sqrt{3{λ^2}-4（{{λ^2}-1}）}}}{2}$=$\sqrt{10}\frac{{\sqrt{4-{λ^2}}}}{2}$，
∵原点O（0，0）到直线EF的距离为$h=\frac{{\sqrt{3}λ}}{{\sqrt{10}}}$，…（11分）
${{S}_{△}}_{ABC}=\frac{1}{2}|EF|h$=$\frac{{\sqrt{3}λ\sqrt{4-{λ^2}}}}{4}$，…（12分）
=$\frac{{\sqrt{3{λ^2}（{4-{λ^2}}）}}}{4}$$≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}•\frac{{{λ^2}+4-{λ^2}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
当$λ=\sqrt{2}$时等号成立，所以△OEF得最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（13分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质的综合应用，基本不等式以及斜率与圆锥曲线相结合，考查分析问题解决问题的能力．