Question

2．P是△ABC内一点，且满足条件$\overrightarrow{AP}$+2$\overrightarrow{BP}$+3$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{0}$，设Q为$\overrightarrow{CP}$延长线与AB的交点，令$\overrightarrow{CP}$=p，用p表示$\overrightarrow{CQ}$．

Answer 1

分析 由条件根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得$\overrightarrow{AQ}$+3$\overrightarrow{QP}$+3$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{0}$．设$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{BQ}$，$\overrightarrow{CP}$=μ$\overrightarrow{QP}$，求得（λ+2）$\overrightarrow{BQ}$+（3+3μ）$\overrightarrow{QP}$=$\overrightarrow{0}$．再根据 $\overrightarrow{BQ}$ 和$\overrightarrow{QP}$ 不共线，可得λ+2=0，3+3μ=0，求得λ和 μ的值，即可得出结论．

解答 解：∵$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{QP}$，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BQ}$+$\overrightarrow{QP}$，P是△ABC内一点，且满足条件$\overrightarrow{AP}$+2$\overrightarrow{BP}$+3$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{0}$，
∴（$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{QP}$）+2（ $\overrightarrow{BQ}$+$\overrightarrow{QP}$）+3$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{AQ}$+3$\overrightarrow{QP}$+3$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{0}$．
又∵A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，故可设$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{BQ}$，$\overrightarrow{CP}$=μ$\overrightarrow{QP}$，
∴λ$\overrightarrow{BQ}$+3$\overrightarrow{QP}$+2$\overrightarrow{BQ}$+3μ$\overrightarrow{QP}$=$\overrightarrow{0}$，∴（λ+2）$\overrightarrow{BQ}$+（3+3μ）$\overrightarrow{QP}$=$\overrightarrow{0}$．
再根据 $\overrightarrow{BQ}$ 和$\overrightarrow{QP}$ 不共线，∴λ+2=0，3+3μ=0，求得λ=-2，μ=-1，∴$\overrightarrow{CP}$=-$\overrightarrow{QP}$．
结合$\overrightarrow{CP}$=p，可得$\overrightarrow{CQ}$=2$\overrightarrow{p}$．

点评 该题考查平面向量共线的条件极其应用，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，考查学生对问题的分析转化能力，属于中档题．