Question

11．如图，平面直角坐标系xOy中，∠ABC=$\frac{π}{3}$∠ADC=$\frac{π}{6}$，AC=$\sqrt{7}$，△BCD的面积为$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求AB的长；
（Ⅱ）若函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象经过A，B，C三点，其中A，B为f（x）的图象与x轴相邻的两个交点，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得S_△BCD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BC²=$\sqrt{3}$，解得BC，由余弦定理即可解得AB的长．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A（2，0），B（-1，0），C（0，$\sqrt{3}$），又函数f（x）的半个周期$\frac{T}{2}$=3，对称轴为x=$\frac{1}{2}$，由周期公式可求T，ω，由$\frac{1}{2}×\frac{π}{3}+$φ=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，可求φ，又∵f（0）=Msin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}M$=$\sqrt{3}$，即可求得M，从而可求函数f（x）的解析式．

解答 本题满分（13分）．
解：（Ⅰ）∵∠ABC=$\frac{π}{3}$，∠ADC=$\frac{π}{6}$，∴∠BCD=$\frac{π}{6}$，∠CBD=$\frac{2π}{3}$，BC=BD（1分）
又∵△BCD的面积为$\sqrt{3}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}•BD•BC•sin\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BC²=$\sqrt{3}$，（2分）
∴BC=2．（3分）
在△ABC中，AC=$\sqrt{7}$，$∠ABC=\frac{π}{3}$，
由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos$\frac{π}{3}$，（4分）
即7=AB²+4-2×$2×\frac{1}{2}$×AB，整理得AB²-2AB-3=0，
∴AB=3，或AB=-1（舍去），∴AB的长为3．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A（2，0），B（-1，0），C（0，$\sqrt{3}$），（7分）
∵函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象经过A，B，C三点，其中A，B为f（x）的图象与x轴相邻的两个交点，
∴函数f（x）的半个周期$\frac{T}{2}$=3，对称轴为x=$\frac{1}{2}$，（9分）
∴T=6=$\frac{2π}{|ω|}$，
∵ω＞0，∴ω=$\frac{π}{3}$，（10分）
∴$\frac{1}{2}×\frac{π}{3}+$φ=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z，
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，（11分）
∴f（x）=Msin（$\frac{π}{3}x+\frac{π}{3}$），
又∵f（0）=Msin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}M$=$\sqrt{3}$，∴M=2，（12分）
∴函数f（x）的解析式是f（x）=2sin（$\frac{π}{3}x+\frac{π}{3}$）．（13分）

点评 本题考查解三角形和三角函数图象及性质等知识，考查学生运算求解能力、数据处理能力及推理论证能力，考查学生数形结合思想、函数与方程思想及转化与化归思想，属于中档题．