Question

19．若实数a，b满足a²+b²≤1，则关于x的方程x²-2x+a+b=0有实数根的概率是（　　）

• A． $\frac{3}{4}+\frac{1}{2π}$
• B． $\frac{3}{4}+\frac{1}{π}$
• C． $\frac{3}{5}+\frac{1}{2π}$
• D． $\frac{3}{5}+\frac{1}{π}$

Answer 1

分析 易得总的基本事件包含的区域为单位圆，面积S=π，由根的存在性可得满足条件的区域为阴影部分，可求面积S′，由概率公式可得．

解答 解：∵实数a，b满足a²+b²≤1，
∴点（a，b）在单位圆内，圆面积S=π，
∵关于x的方程x²-2x+a+b=0有实数根，
∴△=（-2）²-4（a+b）≥0，
即a+b≤1，表示图中阴影部分，
其面积S′=π-（$\frac{1}{4}$π-$\frac{1}{2}×1×1$）=$\frac{3π}{4}$+$\frac{1}{2}$
故所求概率P=$\frac{S′}{S}$=$\frac{3}{4}+\frac{1}{2π}$
故选：A．

点评 本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的存在性和不等式与平面区域，属中档题．