Question

16．若（1-3x）²⁰¹⁵=a₀+a₁x+…a₂₀₁₅x²⁰¹⁵（x∈R），则$\frac{{a}_{1}}{3}+\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}+…\frac{{a}_{2015}}{{3}^{2015}}$的值为（　　）

• A． 3
• B． 0
• C． -1
• D． -3

Answer 1

分析 由（1-3x）²⁰¹⁵=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₅x²⁰¹⁵（x∈R），得展开式的每一项的系数a_r，代入到$\frac{{a}_{1}}{3}+\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}+…\frac{{a}_{2015}}{{3}^{2015}}$=-C₂₀₁₅¹+C₂₀₁₅²-C₂₀₁₅³+…+C₂₀₁₅²⁰¹⁴-C₂₀₁₅²⁰¹⁵，求值即可．

解答 解：由题意得：展开式的每一项的系数a_r=C₂₀₁₅^r•（-3）^r，
∴$\frac{{a}_{1}}{3}+\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}+…\frac{{a}_{2015}}{{3}^{2015}}$=-C₂₀₁₅¹+C₂₀₁₅²-C₂₀₁₅³+…+C₂₀₁₅²⁰¹⁴-C₂₀₁₅²⁰¹⁵
∵C₂₀₁₅⁰-C₂₀₁₅¹+C₂₀₁₅²-C₂₀₁₅³+…+C₂₀₁₅²⁰¹⁴-C₂₀₁₅²⁰¹⁵=（1-1）²⁰¹⁵=0
∴$\frac{{a}_{1}}{3}+\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}+…\frac{{a}_{2015}}{{3}^{2015}}$=-1．
故选：C．

点评 此题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值，特别是解决二项式的系数问题时，常采取赋值法．