Question

17．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=9，AB=BC=6$\sqrt{3}$，N，M，P分别为BC，A₁B₁，C₁D₁的中点．
（1）求点P到平面B₁MN的距离；
（2）求PC与平面B₁MN所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）连接PM，PB₁，PN，根据三棱锥N-PMB₁等于三棱锥P-MNB₁的体积，根据已知的数据即可求出△PMB₁和△MNB₁的面积，根据棱锥的体积公式即可求得P到平面B₁MN的距离；
（2）分别以边DA，DC，DD₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可以确定一些空间点的坐标，根据平面法向量和平面垂直即可求得平面B₁MN的法向量$\overrightarrow{n}$，设PC和平面B₁MN所成角为θ，则根据$sinθ=|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PC}＞|$即可求出θ．

解答 解：（1）如图，连接PM，PB₁，PN，根据已知条件：
${S}_{△PM{B}_{1}}=\frac{1}{2}•3\sqrt{3}•6\sqrt{3}=27$，${S}_{△MN{B}_{1}}=\frac{1}{2}•\sqrt{81+27}•3\sqrt{3}=27$；
∵${V}_{三棱锥N-PM{B}_{1}}={V}_{三棱锥P-MN{B}_{1}}$；
则P到平面B₁MN的距离为9；
（2）以D为坐标原点，边DA，DC，DD₁所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：
M（$6\sqrt{3}，3\sqrt{3}，9$），${B}_{1}（6\sqrt{3}，6\sqrt{3}，9）$，N（$3\sqrt{3}，6\sqrt{3}，0$），$P（0，3\sqrt{3}，9），C（0，6\sqrt{3}，0）$；
∴$\overrightarrow{{B}_{1}M}=（0，-3\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{{B}_{1}N}=（-3\sqrt{3}，0，-9）$，$\overrightarrow{PC}=（0，3\sqrt{3}，-9）$；
设平面B₁MN的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则：
$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{{B}_{1}M}，\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{{B}_{1}N}$；
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}M}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}N}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3\sqrt{3}y=0}\\{-3\sqrt{3}x-9z=0}\end{array}\right.$，取z=1，则$\overrightarrow{n}=（-\sqrt{3}，0，1）$；
若设PC和平面B₁MN所成角为θ，则：sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PC}$＞|=$\frac{9}{\sqrt{108}•2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$；
∴$θ=arcsin\frac{\sqrt{3}}{4}$；
∴PC与平面B₁MN所成角的大小为arcsin$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 考查三棱锥的体积公式，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角的求解，以及需理解平面法向量的概念，线面垂直的判定定理，两非零向量垂直的充要条件，线面角的定义及向量求线面角的方法．