Question

3．某市为了治理污染，改善空气质量，市环境保护局决定每天在城区主要路段洒水防尘，为了给洒水车供水，供水部门决定最多修建3处供水站．根据过去30个月的资料显示，每月洒水量X（单位：百立方米）与气温和降雨量有关，且每月的洒水量都在20以上，其中不足40的月份有10个月，不低于40且不超过60的月份有15个月，超过60的月份有5个月．将月洒水量在以上三段的频率作为相应的概率，并假设各月的洒水量相互独立．
（Ⅰ）求未来的3个月中，至多有1个月的洒水量超过60的概率；
（Ⅱ）供水部门希望修建的供水站尽可能运行，但每月供水站运行的数量受月洒水量限制，有如下关系：

月洒水量	20＜X＜40	40≤X≤60	X＞60
供水站运行的最多数量	1	2	3

若某供水站运行，月利润为12000元；若某供水站不运行，月亏损6000元．欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建几处供水站？

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别考虑20＜X＜40，40≤X≤60，X＞60，求出它们的概率，再由二项分布特点，即可得到所求概率；
（Ⅱ）记供水部门的月总利润为Y元，分别考虑①修建一处供水站的情形，②修建两处供水站的情形，③修建三处供水站情形，求出概率计算期望，即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ）依题意可得P₁=P（20＜X＜40）=$\frac{10}{30}$=$\frac{1}{3}$，
P₂=P（40≤X≤60）=$\frac{15}{30}$=$\frac{1}{2}$，
P₃=P（X＞60）=$\frac{5}{30}$=$\frac{1}{6}$，
由二项分布可得，在未来三个月中，至多有1个月的洒水虽超过60的概率为
P=${C}_{3}^{0}$（1-P₃）³+${C}_{3}^{1}$（1-P₃）²•P₃=（$\frac{5}{6}$）³+3×（$\frac{5}{6}$）²×$\frac{1}{6}$=$\frac{25}{27}$，
至多有1个月的洒水虽超过60的概率为$\frac{25}{27}$；
（Ⅱ）记供水部门的月总利润为Y元，
①修建一处供水站的情形，由于月洒水量总大于20，故一处供水站运行的概率为1，
对应的月利润为Y=12000，E（Y）=12000×1=12000（元）；
②修建两处供水站的情形，依题意当20＜X＜40，一处供水站运行，此时Y=12000-6000=6000，
P（Y=6000）=P（20＜X＜40）=P₁=$\frac{1}{3}$，当X≥40，两处供水站运行，此时Y=12000×2=24000，
因此P（Y=24OOO）=P（X≥40）=P₂+P₃=$\frac{2}{3}$，由此得Y的分布列为

Y	6000	24000
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$

则E（Y）=6000×$\frac{1}{3}$+24000×$\frac{2}{3}$=18000（元）；
③修建三处供水站情形，
依题意可得当20＜X＜40时，一处供水站运行，此时Y=12000-12000=0，由此
P（Y=0）=P（40＜X＜80）=P₁=$\frac{1}{3}$，
当40≤X≤60时，两处供水站运行，此时Y=12000×2-6000=18000，
由此P（Y=18000）=P（40≤X≤60）=P₂=$\frac{1}{2}$，
当X＞60时，三处供水站运行，此时Y=12000×3=36000，
由此P（Y=36000）=P（X＞60）=P₃=$\frac{1}{6}$，
由此的Y的分布列为

Y	0	18000	36000
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

由此E（Y）=0×$\frac{1}{3}$+18000×$\frac{1}{2}$+36000×$\frac{1}{6}$=15000（元），
欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建两处供水站．

点评 本题考查离散型随机变量的期望的求法，同时考查二项分布的特点和概率计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．