Question

4．由曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y={t}^{2}}\end{array}\right.$（t为参数）和y=x+2围成的封闭图形的面积为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 先消去参数t，可得曲线为y=x²，联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y=x²与直线y=2+x围成的封闭图形的面积，即可求得结论．

解答 解：由曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y={t}^{2}}\end{array}\right.$（t为参数），
可得曲线为y=x²，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴曲线y=x²与直线y=2+x围成的封闭图形的面积为${∫}_{-1}^{2}$（x+2-x²）dx
=（$\frac{1}{2}$x²+2x-$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{-1}^{2}$=（$\frac{1}{2}$×4+4-$\frac{8}{3}$）-（$\frac{1}{2}$-2+$\frac{1}{3}$）=$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查参数方程和普通方程的互化，利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．