Question

9．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为正三角形，点M在棱BB₁上，AB=4，AA₁=5，
平面A₁MC⊥平面ACC₁A₁．
（1）求证：M是棱BB₁的中点；
（2）求平面A₁MC与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系，利向量法即可证明M是棱BB₁的中点；
（2）求出平面的法向量．利用向量法即可求平面A₁MC与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）取AC中点O，连OB．
在平面ACC₁A₁上过O作AC垂线交A₁C₁于N．
∵平面ACC₁A₁⊥平面ABC．
∴ON⊥平面ABC，
如图：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系
由已知：A（2，0，0），B（0，2$\sqrt{3}$，0），C（-2，0，0），A₁（2，0，5），B₁（0，2$\sqrt{3}$，5），C₁（-2，0，5），M（0，2$\sqrt{3}$，m），…（3分）
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面A₁MC法向量
$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=-4x-5z=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=2x+2\sqrt{3}y+mz=0$，
取x=5$\sqrt{3}$，z=-4$\sqrt{3}$，y=2m-5，
即：$\overrightarrow{n}$=（5$\sqrt{3}$，2m-5，-4$\sqrt{3}$），
又$\overrightarrow{m}$=（0，1，0）为平面ACC₁A₁法向量
依题意：$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2m-5=0$，解得m=$\frac{5}{2}$
∴M为棱BB₁的中点                                    …（8分）
（2）由（1）知：$\overrightarrow{n}$=（5$\sqrt{3}$，2m-5，-4$\sqrt{3}$）为平面A₁MC法向量
又$\overrightarrow{a}$=（0，0，1）为平面ABC法向量
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-4\sqrt{3}}{\sqrt{25×3+16×3}}$=-$\frac{4\sqrt{41}}{41}$，
∴平面A₁MC与平面ABC所成锐二面角余弦值为$\frac{4\sqrt{41}}{41}$．…（12分）

点评 本题主要考查空间二面角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决线面所成角的常用方法．