Question

1．盒子里装有大小相同的8个球，其中3个1号球，3个2号球，2个3号球．
（Ⅰ）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是5的概率；
（Ⅱ）若从盒子中一次取出2个球，记取到球的号码和为随机变量X，求X的分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别求出第一次是3，第二次是2和第一次是2，第二次是3的概率相加即可；
（Ⅱ）X可能取的值是2，3，4，5，6，分别求出其概率值，列出分布列，求出数学期望即可．

解答 解：（Ⅰ）记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是5”为事件A，
则$P（A）=\frac{3}{8}×\frac{2}{8}+\frac{2}{8}×\frac{3}{8}=\frac{12}{64}=\frac{3}{16}$；
（Ⅱ）X可能取的值是2，3，4，5，6，
$P（X=2）=\frac{C_3^2}{C_8^2}=\frac{3}{28}$，
$P（X=3）=\frac{C_3^1C_3^1}{C_8^2}=\frac{9}{28}$，
$P（X=4）=\frac{C_3^1C_2^1+C_3^2}{C_8^2}=\frac{9}{28}$，
$P（X=5）=\frac{C_3^1C_2^1}{C_8^2}=\frac{6}{28}=\frac{3}{14}$，
$P（X=6）=\frac{C_2^2}{C_8^2}=\frac{1}{28}$．
∴X的分布列为：

X	2	3	4	5	6
P	$\frac{3}{28}$	$\frac{9}{28}$	$\frac{9}{28}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{1}{28}$

∴$EX=\frac{3}{28}×2+\frac{9}{28}×3+\frac{9}{28}×4+\frac{3}{14}×5+\frac{1}{28}×6=\frac{105}{28}=\frac{15}{4}$，
故所求的数学期望为$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分别列及其期望，熟练掌握公式是解题的关键，本题属于中档题．