Question

10．已知点P（c，$\frac{3}{2}$c）在以F（c，0）为右焦点的椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，斜率为l的直线m过点F与椭圆Γ交于A，B两点，且与直线l：x=4c交于点M，求椭圆Γ的离心率e．

Answer 1

分析 由题意可得左焦点，由椭圆的定义，可得2a=|PF'|+|PF|，运用两点的距离公式和离心率公式计算即可得到．

解答 解：由题意可得左焦点F'（-c，0），
由椭圆的定义可得2a=|PF|+|PF'|
=$\frac{3}{2}$c+$\sqrt{（c+c）^{2}+（\frac{3}{2}c）^{2}}$=$\frac{3}{2}$c+$\frac{5}{2}$c=4c，
即a=2c，
则椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义和离心率的求法，属于中档题．