Question

11．已知如图所示，AB⊥平面HCD、DE⊥平面HCD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F、G分别是CE、CD的中点．求证：
（1）BF⊥平面CDE；
（2）求平面HCD与平面HCE所成的二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）AB⊥平面HCD、DE⊥平面HCD，可得AB∥DE，再利用三角形中位线定理及平行四边形判定定理可得：四边形ABFG是平行四边形，可得BF∥AG．利用等边三角形的性质可得：AG⊥DC，再利用线面面面垂直的判定与性质定理可得：AG⊥平面CDE．即可证明．
（2）由（1）可得：$AB\underset{∥}{=}\frac{1}{2}DE$，于是AB是△HDE的中位线，A是HD的中点，可得HC⊥平面CDE，因此∠DCE是平面HCD与平面HCE所成的二面角的平面角．利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 （1）证明：∵AB⊥平面HCD、DE⊥平面HCD，∴AB∥DE，
∵F、G分别是CE、CD的中点，∴FG∥DE，FG=$\frac{1}{2}$DE=1，
∴AB∥FG，AB=FG=1，
∴四边形ABFG是平行四边形，
∴BF∥AG．
∵AC=AD=CD，DG=GC，
∴AG⊥DC，
∵DE⊥平面HCD，DE?平面CDE，
∴平面CDE∩平面HCD=CD，
∴AG⊥平面CDE．
∴BF⊥平面CDE；
（2）解：由（1）可得：$AB\underset{∥}{=}\frac{1}{2}DE$，
∴AB是△HDE的中位线，∴A是HD的中点，
∴HC∥AG，
∴HC⊥平面CDE，
∴∠DCE是平面HCD与平面HCE所成的二面角的平面角．
∵ED⊥DC，ED=DC．
∴∠DCE=45°．
∴平面HCD与平面HCE所成的二面角是45°．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理及平行四边形判定定理、等边三角形的性质、二面角的平面角、直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．