Question

3．有限数列A_n：a₁，a₂，…，a_n．（n≥3）同时满足下列两个条件：
①对于任意的i，j（1≤i＜j≤n），a_i＜a_j；
②对于任意的i，j，k（1≤i＜j＜k≤n），a_ia_j，a_ja_k，a_ia_k三个数中至少有一个数是数列A_n中的项．
（Ⅰ）若n=4，且a₁=1，a₂=2，a₃=a，a₄=6，求a的值；
（Ⅱ）证明：2，3，5不可能是数列A_n中的项；
（Ⅲ）求n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用①，推出a的范围．利用②，求解a的值即可．
（Ⅱ）利用反证法：假设2，3，5是数列A_n中的项，利用已知条件②，①，推出a_n-2=a_n-3，得到矛盾结果．
（Ⅲ）n的最大值为9，证明如下：…（8分）
（1）令${A_9}：-4，-2，-1，-\frac{1}{2}，-\frac{1}{4}，0，\frac{1}{2}，1，2$，则A₉符合①、②．…（11分）
（2）设A_n：a₁，a₂，…，a_n（n≥3）符合①、②，（ⅰ）A_n中至多有三项，其绝对值大于1．
利用反证法证明假设A_n中至少有四项，其绝对值大于1，不正确；（ⅱ）A_n中至多有三项，其绝对值大于0且小于1．利用反证法推出矛盾结论、（ⅲ）A_n中至多有两项绝对值等于1．（ⅳ）A_n中至多有一项等于0．推出n的最大值为9．

解答 （共14分）
解：（Ⅰ）由①，得2＜a＜6．
由②，当i=2，j=3，k=4时.2a，6a，12中至少有一个是数列1，2，a，6中的项，但6a＞6，12＞6，故2a=6，解得a=3．
经检验，当a=3时，符合题意．…（3分）
（Ⅱ）假设2，3，5是数列A_n中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列A_n中的项，则有限数列A_n的最后一项a_n＞5，且n≥4．
由①，a_n＞a_n-1＞a_n-2＞a_n-3＞1．…（4分）
对于数a_n-2，a_n-1，a_n，由②可知：a_n-2a_n-1=a_n；对于数a_n-3，a_n-1，a_n，由②可知：a_n-3a_n-1=a_n．…（6分）
所以 a_n-2=a_n-3，这与①矛盾．
所以 2，3，5不可能是数列A_n中的项．…（7分）
（Ⅲ）n的最大值为9，证明如下：…（8分）
（1）令${A_9}：-4，-2，-1，-\frac{1}{2}，-\frac{1}{4}，0，\frac{1}{2}，1，2$，则A₉符合①、②．…（11分）
（2）设A_n：a₁，a₂，…，a_n（n≥3）符合①、②，则：
（ⅰ）A_n中至多有三项，其绝对值大于1．
假设A_n中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设a_i，a_j，a_k，a_l是A_n中绝对值最大的四项，其中1＜|a_i|≤|a_j|≤|a_k|≤|a_l|．
则对a_i，a_k，a_l有|a_ia_l|＞|a_l|，|a_ka_l|＞|a_l|，故a_ia_l，a_ka_l均不是数列A_n中的项，即a_ia_k是数列A_n中的项．
同理：a_ja_k也是数列A_n中的项．
但|a_ia_k|＞|a_k|，|a_ja_k|＞|a_k|．
所以 a_ia_k=a_ja_k=a_l．
所以 a_i=a_j，这与①矛盾．
（ⅱ）A_n中至多有三项，其绝对值大于0且小于1．
假设A_n中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾．
（ⅲ）A_n中至多有两项绝对值等于1．
（ⅳ）A_n中至多有一项等于0．
综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知A_n中至多有9项．
…（14分）
由（1），（2）可得，n的最大值为9．

点评 本题考查数列的应用，反证法的证明方法，分类讨论思想的应用，难度比较大，开学分析问题解决问题的能力．