Question

12．已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，E、F分别是AD、PC的中点，EF⊥BD，2AP=2AB=AD，∠BAD=60°．
（1）求证：BD⊥面APB；
（2）若AB=PB，求二面角C-BE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BP中点G，连结GF、AG，利用中位线定理、线面垂直的判定定理及余弦定理即可；
（2）取AB、AD的中点分别为H、E，连结PH、HE，以H为原点，以HE、HB、HP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系H-xyz，则所求值为平面BEF的法向量与平面BEC的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．

解答 （1）证明：取BP中点G，连结GF、AG，
∵E、F分别是AD、PC的中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴GF∥BC∥AE，GF=$\frac{1}{2}$BC=AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴EF∥AG，
又∵EF⊥BD，∴BD⊥AG，
∵△ABD中，AD=2AB，∠BAD=60°，
由余弦定理，即BD²=AB²+AD²-2AB×AD×cos60°=AD²-AB²，
∴∠BAD=90°，即BD⊥AB，
又∵AB、AG?平面PAB，AG∩AB=A，
∴BD⊥面APB；
（2）解：取AB、AD的中点分别为H、E，连结PH、HE，
∵AB=PB，2AP=2AB=AD，∠BAD=60°，
∴△PAB为等边三角形，△ABE为∠HAE=60°、∠AHE=90°的直角三角形，
以H为原点，以HE、HB、HP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系H-xyz如图，
设AH=a，则BH=AH=a，PH=HE=AHtan60°=$\sqrt{3}a$，BD=2HE=$2\sqrt{3}a$，
则H（0，0，0），E（$\sqrt{3}$a，0，0），B（0，a，0），C（$2\sqrt{3}a$，3a，0），P（0，0，$\sqrt{3}a$），
∴F（$\sqrt{3}a$，$\frac{3}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
∴$\overrightarrow{BE}$=（$\sqrt{3}$a，-a，0），$\overrightarrow{BF}$=（$\sqrt{3}a$，$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
设平面BEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}ax-ay=0}\\{\sqrt{3}ax+\frac{1}{2}ay+\frac{\sqrt{3}}{2}az=0}\end{array}\right.$，
取y$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，-3），
而$\overrightarrow{HP}$=（$\sqrt{3}a$，$\frac{3}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）为平面BEC的一个法向量，
∵$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{HP}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{HP}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{HP}|}$=$\frac{\sqrt{3}a+\frac{3\sqrt{3}}{2}a-\frac{3\sqrt{3}}{2}a}{\sqrt{1+3+9}•\sqrt{3{a}^{2}+\frac{9}{4}{a}^{2}+\frac{3}{4}{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{26}}{26}$，
∴所求二面角C-BE-F的余弦值为$\frac{\sqrt{26}}{26}$．

点评 本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，二面角，数量积运算，中位线定理，余弦定理，注意解题方法的积累，属于中档题．