Question

7．已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在直线l：y=3x+1上，P₁是直线l与y轴的交点，数列{a_n}是公差为1的等差数列．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n为奇数}\\{{b}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$是否存在k∈N^*，使f（k+3）=4f（k）成立？若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出a₁=0，b₁=1，然后求出a_n，通过点P_n（a_n，b_n）在直线l：y=3x+1上，求出b_n．
（2）化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}n-1，n为偶数\\ 3n-2，n为奇数\end{array}\right.$，假设存在k∈N^*，使f（k+3）=4f（k）成立，通过①当k为奇数时，②当k为偶数分别求解k即可．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）因为P₁（a₁，b₁）是直线l：y=3x+1与y轴的交点（0，1），
所以a₁=0，b₁=1．…（2分）
因为数列{a_n}是公差为1的等差数列，
所以a_n=n-1．…（4分）
因为点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在直线l：y=3x+1上，
所以b_n=3a_n+1=3n-2．
所以数列{a_n}，{b_n}的通项公式分别为a_n=n-1，b_n=3n-2k∈N^*．…（6分）
（2）因为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}n-1，n为偶数\\ 3n-2，n为奇数\end{array}\right.$
假设存在k∈N^*，使f（k+3）=4f（k）成立．…（7分）
①当k为奇数时，k+3为偶数，
则有3（k+3）-2=4（k-1），
解得k=11，符合题意．…（10分）
②当k为偶数时，k+3为奇数，
则有（k+3）-1=4（3k-2），
解得k=$\frac{10}{11}$，不合题意．…（13分）
综上可知，存在k=11符合条件．…（14分）

点评 本题考查数列与函数相结合，数列的通项公式的求法，分类讨论思想的应用，考查计算能力．