Question

17．如图，在直三棱柱ABC-${A}_{{1}_{{\;}_{\;}}}$B₁C₁中，M为AB₁的中点，△CMB₁为等边三角形．
（Ⅰ）证明：AC⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）若BC=2，AB₁=8，求点C₁到平面CMB₁的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过直三棱柱ABC-${A}_{{1}_{{\;}_{\;}}}$B₁C₁的性质知AC⊥C₁C，结合M为AB₁的中点，△CMB₁为等边三角形，可得AC⊥CB₁，利用线面垂直的判定定理即得结论；
（Ⅱ）通过${V}_{M-{B}_{1}{C}_{1}C}$=${V}_{{C}_{1}-C{B}_{1}M}$计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：由直三棱柱ABC-${A}_{{1}_{{\;}_{\;}}}$B₁C₁的性质知AC⊥C₁C，
∵M为AB₁的中点，△CMB₁为等边三角形，
∴MA=MB₁=MC，
∴AC⊥CB₁，
又∵CB₁∩C₁C=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）解：∵AB₁=8，△CMB₁为等边三角形，
∴CB₁=$\frac{1}{2}$AB₁=4，
又∵BC=2，∴C₁C=$\sqrt{{B}_{1}{C}^{2}-{B}_{1}{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{16-4}$=$2\sqrt{3}$，
∵${V}_{M-{B}_{1}{C}_{1}C}$=${V}_{{C}_{1}-C{B}_{1}M}$，
∴$\frac{1}{3}•$${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}C}$•MO=$\frac{1}{3}•$${S}_{△{B}_{1}CM}$•h，
解得h=$\sqrt{3}$，
∴点C₁到平面CMB₁的距离为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，棱锥的体积公式，考查空间想象能力、分析能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．