Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．
（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用中点引出中位线，进一步得到线线平行，再利用线面平行的判定定理得到结论．
（Ⅱ）根据直线间的两两垂直，尽力空间直角坐标系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．
∵点F为PD中点，
∴$FM=\frac{1}{2}CD$．
∵点E为AB的中点．
∴$AE=\frac{1}{2}AB=FM$，
又AE∥FM，
∴四边形AEMF为平行四边形，
∴AF∥EM，
∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，
∴直线AF∥平面PEC．

（Ⅱ）已知∠DAB=60°，
进一步求得：DE⊥DC，
则：建立空间直角坐标系，
则 P（0，0，1），C（0，1，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），
A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0）．
所以：$\overrightarrow{AP}=（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，1）$，$\overrightarrow{AB}=（0，1，0）$．
设平面PAB的一个法向量为：$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，．
∵$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0\end{array}\right.$，
则：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，
解得：$\overrightarrow{n}=（1，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
所以平面PAB的法向量为：$\overrightarrow{n}=（1，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$
∵$\overrightarrow{PC}=（0，1，-1）$，
∴设向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{PC}$的夹角为θ，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{PC}\right|}=-\frac{\sqrt{42}}{14}$，
∴PC平面PAB所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{42}}{14}$．

点评 本题考查的知识要点：线面平行的判定的应用，空间直角坐标系的建立，法向量的应用，线面的夹角的应用，主要考查学生的空间想象能力和应用能力．