Question

15．已知圆C的方程是x²+y²=1，点A（1，0），直线l与圆C相交于P、Q两点（不同于A），
（1）若∠PAQ=90°，则直线l必经过圆心O；
（2）若直线l经过圆心O，则∠PAQ=90°．

Answer 1

分析 （1）设直线AP的方程是x=my+1，代入圆的方程，求得P的坐标，再由垂直设出AQ的方程，同样求得Q的坐标，再由斜率相等，即可得到直线l必经过圆心O；
（2）若直线l经过圆心O，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），求出直线AP，AQ的斜率，运用两直线垂直的条件，即可得证．

解答 证明：（1）设直线AP的方程是x=my+1，
代入x²+y²=1得（m²+1）y²+2my=0，
因为y≠0，所以y=-$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，从而得P（$\frac{1-{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，-$\frac{2m}{1+{m}^{2}}$），
因为∠PAQ=90°，所以直线AQ的方程x=-$\frac{1}{m}$x+1，
以-$\frac{1}{m}$代换点Q坐标中的m，得Q（$\frac{{m}^{2}-1}{1+{m}^{2}}$，$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$），
当m²≠1时，直线OP、OQ的斜率分别为k₁，k₂，显然k₁=k₂=$\frac{2m}{{m}^{2}-1}$，
即直线l经过圆心O；
当m²=1时，P（0，1），Q（0，-1），显然直线l经过圆心O，
综上若∠PAQ=90°，则直线l必经过圆心O．
（2）若直线l经过圆心O，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
显然，直线AP，AQ的斜率存在，
直线AP的斜率为k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$，直线AQ的斜率为k₂=$\frac{-{y}_{1}}{-{x}_{1}-1}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$，
则k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-1}$，由x₁²+y₁²=1，
即有k₁•k₂=-1，则∠PAQ=90°．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，同时考查直线的斜率公式的运用和两直线垂直的条件的运用，属于中档题．