Question

8．在平面直角坐标系xOy中，点P（x_P，y_P）和点Q（x_Q，y_Q）满足$\left\{\begin{array}{l}{x_Q}={x_P}+{y_P}\;\\{y_Q}=-{x_P}+{y_P}\;\end{array}$按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．在此变换下，若$\frac{{|\overrightarrow{OP}|}}{{|\overrightarrow{OQ}|}}$=m，向量$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OQ}$的夹角为θ，其中O为坐标原点，则msinθ的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先利用两点间的距离公式及已知的点变换公式，计算m的值，再利用向量夹角公式和点变换公式计算∠POQ=θ 的值，即可求出msinθ的值．

解答 解：依题意，（$\frac{{|\overrightarrow{OP}|}}{{|\overrightarrow{OQ}|}}$）²=$\frac{{{x}_{Q}}^{2}+{{y}_{Q}}^{2}}{{{x}_{P}}^{2}+{{y}_{P}}^{2}}$=（$\frac{1}{m}$）²
∵$\left\{\begin{array}{l}{x_Q}={x_P}+{y_P}\;\\{y_Q}=-{x_P}+{y_P}\;\end{array}$
∴$\frac{（{x}_{P}+{y}_{P}）^{2}+（-{x}_{P}+{y}_{P}）^{2}}{{{x}_{P}}^{2}+{{y}_{P}}^{2}}$=（$\frac{1}{m}$^）2
∴m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵向量$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OQ}$的夹角为θ，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$•$\frac{{{x}_{Q}}^{2}+{{y}_{Q}}^{2}}{{{x}_{P}}^{2}+{{y}_{P}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴θ=$\frac{π}{4}$，
∴msinθ=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题综合考查了理解题意的能力，两点间的距离公式，向量夹角公式，具有较强的代数变换能力是解决本题的关键．