Question

16．如图，在三棱锥S-ABC中，BS=BA，SA⊥AC，D、E分别为SC、SA的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：平面DEB⊥平面SAB．
（Ⅲ）若△ABC是正三角形，且AB=2，SC=2$\sqrt{2}$，求二面角B-SA-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理证明DE∥CA即可；
（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面DEB⊥平面SAB；
（Ⅲ）根据二面角的定义作出二面角，即可求二面角E-BD-A的大小．

解答 （Ⅰ）证明：∵在△SAC中，D、E分别为SC、SA的中点，
∴DE∥CA．…（2 分）
又DE?平面ABC，CA?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．…（4 分）
（Ⅱ）证明：∵在△SAC中，SA⊥AC，ED∥AC，
∴ED⊥SA．…（5 分）
∵在△SAB中，BS=BA，BA=BD，E为SA的中点，
∴BE⊥SA．…（6 分）
∵ED?平面DEB，BE?平面DEB，且ED∩BE=E，
∴SA⊥平面DEB．…（7 分）
又SA?平面SAB，
∴平面DEB⊥平面SAB．…（9 分）
（Ⅲ）解：二面角B-SA-C即为二面角B-SA-E，
由（Ⅱ）可知，BD⊥SA，BE⊥SA．
故∠BED即为所求二面角B-SA-C的平面角．…（10分）
在△BED中，易知$BE=\sqrt{3}$，DE=1，$BD=\sqrt{2}$，…（11分）
由余弦定理，得$cos∠BED=\frac{{B{E^2}+D{E^2}-B{D^2}}}{2BE•DE}=\frac{3+1-2}{{2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴二面角B-SA-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（13分）

点评 本题主要考查空间直线和平面平行，直线和直线垂直的判定，以及二面角的求解，考查学生的运算和推理能力．