Question

4．设⊙O：x²+y²=36，内切于椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞1，b＞0），F₁、F₂分别是椭圆的左焦点、右焦点，点P在该椭圆上，且△PF₁F₂的周长为36．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点F₂的直线l与⊙O相交于A，B两点，与椭圆相交于C、D两点，若|AB|=4$\sqrt{5}$，求|CD|的值．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆的第一定义及题意，计算即得结论；
（2）分直线l不存在斜率与存在斜率两种情况讨论，利用点到直线的距离公式、韦达定理及焦点弦长公式，计算即得结论．

解答 解：（1）由题意，有$\left\{\begin{array}{l}{2a+2c=36}\\{b=6}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=10}\\{b=6}\\{c=8}\end{array}\right.$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$；
（2）由（1）可知F₂（8，0），
当直线l不存在斜率时，直线与⊙O无交点，不满足条件；
当直线l存在斜率时，令直线l：y=k（x-8），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则圆心O（0，0）到直线l的距离d=$\frac{|8k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵在圆x²+y²=36中，d²=36-$\frac{|AB{|}^{2}}{4}$=16，
∴$\frac{64{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$=16，解得k²=$\frac{1}{3}$，
又∵$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-8）}\\{\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{36}=1}\end{array}\right.$，
∴（9+25k²）x²-400k²x+1600k²-900=0，
由韦达定理，得x₁+x₂=$\frac{400{k}^{2}}{9+25{k}^{2}}$，
由焦点弦长公式有|CD|=2a-e（x₁+x₂）=$20-\frac{4}{5}•\frac{400{k}^{2}}{9+25{k}^{2}}$，
代入k²=$\frac{1}{3}$，可得|CD|=$\frac{180}{13}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，圆与椭圆的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．