Question

9．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面α内，则正方体在平面α内的影射构成的图形面积的取值范围是$[1，\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 设矩形BDD₁B₁与α所成锐二面角为θ，面积记为S₁，推出正方形A₁B₁C₁D₁与α所成锐二面角为$\frac{π}{2}-θ$．面积记为S₂，
求出阴影部分的面积的表达式，利用两角和与差的三角函数求解最值即可．

解答 解：设矩形BDD₁B₁与α所成锐二面角为θ，面积记为S₁，
则正方形A₁B₁C₁D₁与α所成锐二面角为$\frac{π}{2}-θ$．
面积记为S₂，
所求阴影部分的面积
S=${S}_{1}cosθ+{S}_{2}cos（\frac{π}{2}-θ）$=S₁cosθ+S₂sinθ=$\sqrt{2}$cosθ+sinθ=$\sqrt{3}$sin（θ+β）
其中sinβ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosβ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故S∈$[1，\sqrt{3}]$．
故答案为：$[1，\sqrt{3}]$．

点评 本题考查二面角的应用，空间想象能力以及转化思想的应用，难度比较大．