Question

17．已知方程$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{x}$=0有两个不等的非零根，则a的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 由方程$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{x}$=0得a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，x≠0；再令f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，从而求导f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$以确定函数的单调性及取值，从而确定a的取值范围．

解答 解：由方程$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{x}$=0得，
a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，x≠0；
令f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
则f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$；
故f（x）在（-∞，1）上是增函数，且f（x）＜f（1）=$\frac{1}{e}$；
在（1，+∞）上是减函数，且0＜f（x）＜$\frac{1}{e}$；
故若方程$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{x}$=0有两个不等的非零根，
则a的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$）．
故答案为：（0，$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查了导数的综合应用及方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题．