Question

14．如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，O是AC的中点，A₁O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA₁=AC=BC．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）若AA₁=2，求点C到平面A₁ABB₁的距离．．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AC₁⊥平面A₁BC，只需证明AC₁⊥BC、AC₁⊥A₁C；
（Ⅱ）利用V_C-A1AB=V_A-A1BC，求点C到平面A₁ABB₁的距离．

解答 证明：（Ⅰ）因为A₁O⊥平面ABC，所以A₁O⊥BC．
又BC⊥AC，所以BC⊥平面A₁ACC₁，所以AC₁⊥BC．…（2分）
因为AA₁=AC，所以四边形A₁ACC₁是菱形，所以AC₁⊥A₁C．
所以AC₁⊥平面A₁BC．…（6分）
（Ⅱ）设三棱锥C-A₁AB的高为h．
由（Ⅰ）可知，三棱锥A-A₁BC的高为$\frac{1}{2}$AC₁=$\sqrt{3}$．
因为${V}_{C-{A}_{1}AB}$=${V}_{A-{A}_{1}BC}$，即$\frac{1}{3}$${S}_{△{A}_{1}AB}$h=$\frac{1}{3}$${S}_{△{A}_{1}BC}$•$\sqrt{3}$．
在△A₁AB中，AB=A₁B=2$\sqrt{2}$，AA₁=2，所以${S}_{△{A}_{1}AB}$=$\sqrt{7}$．…（10分）
在△A₁BC中，BC=A₁C=2，∠BCA₁=90°，所以${S}_{△{A}_{1}BC}$=$\frac{1}{2}$BC•A₁C=2．
所以h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．