Question

3．如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，AB⊥BD，PD⊥平面ABCD，且PD=AB，E为PA的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥PB；
（Ⅱ）求证：PC∥平面BED；
（Ⅲ）求二面角E-BD-A的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的性质即可证明CD⊥PB；
（Ⅱ）根据线面平行的判定定理即可证明PC∥平面BED；
（Ⅲ）根据二面角的定义作出二面角，即可求二面角E-BD-A的大小．

解答 （Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PD．…（1 分）
∵CD∥AB，AB⊥BD，
∴CD⊥BD．…（2 分）
∵PD∩BD=D，
∴CD⊥平面PBD．…（3 分）
∵PB?平面PBD，
∴CD⊥PB．…（4 分）
（Ⅱ）证明：如图，连接AC，与BD相交于点O，连接EO．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为AC的中点．…（5 分）
∵E为PA的中点，
∴EO∥PC．…（6 分）
∵EO?平面BED，PC?平面BED，
∴PC∥平面BED．…（8 分）
（Ⅲ）解：如图，作OF∥AB，交AD于F点，
则F为AD的中点．…（9 分）
∵AB⊥BD，OF∥AB，
∴OF⊥BD．…（10分）
连接EF，则EF∥PD，
∵PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PD⊥BD，从而EF⊥BD．
∴BD⊥平面EOF．
∴∠EOF是二面角E-BD-A的平面角．…（11分）
∵PD=AB，$EF=\frac{1}{2}PD$，$OF=\frac{1}{2}AB$，
∴EF=OF．…（12分）
∵EF⊥OF，
∴∠EOF=45°．
∴二面角E-BD-A的大小为45°．…（13分）

点评 本题主要考查空间直线和平面平行，直线和直线垂直的判定，以及二面角的求解，考查学生的运算和推理能力．